Формальная модель «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту»

Задание. Формальная модель «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту». Построить формальную модель решения задачи «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту». В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в площадку определенной длины, находящуюся на известном расстоянии.

Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в площадку определенного размера, находящуюся на известном расстоянии. 

Качественная описательная модель. Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятий и законов, т.е. в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

·       мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

·       изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8  м/с² и движение по оси Y можно считать равноускоренным;

·       скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси X можно считать равномерным.

Формальная модель. Движение мячика по оси Х равномерное, а по оси Y равноускоренное, поэтому для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости v₀ и угле бросания α значения координат дальности полета x и высоты y от времени можно описать следующими формулами:

Площадка расположена на поверхности земли, поэтому из второй формулы можно выразить время,  которое  понадобится мячику, чтобы достичь площадки:

v₀·sinα·t – g·t²/2 = 0

t·(v₀·sinα – g·t/2) = 0

Значение времени t = 0 не имеет физического смысла, поэтому:

v₀·sinα – g·t/2 = 0

t = (2·v₀·sinα)/g

Подставим полученное выражение для времени в формулу для вычисления координаты х:

x = (v₀·cosα·2·v₀·sinα)/g = (v₀²·sin2α)/g

Формализуем теперь условие попадание мячика в площадку. Пусть площадка расположена на расстоянии s и имеет длину l. Тогда попадание произойдет, если значение координаты х мячика будет удовлетворять условию в форме неравенства:

s ≤ х ≤ s+l

Если х<s, то это означает "недолет", а если х>s+l, то это означает "перелет".